是一种用黎曼度量的微分流形。
黎曼流形就是给定了一个光滑的对称、正定的二阶张量场的光滑流形。
给了度量以后，我们就可以像初等几何学中一样，测量长度，面积，体积等量。
流形是一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间，在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个(局部)坐标系间的坐标变换都是连续的。
n维流形的概念在18世纪法国数学家拉格朗日的力学研究中已有萌芽。
19世纪中叶英国数学家凯莱(1843)、德国数学家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士数学家施勒夫利(1852)分别论述了n维欧几里得空间理论，把它视为n个实变量的连续统。
1854年德国数学家黎曼在研究微分几何时用归纳构造法给出一般n维流形的概念：n维流形是把无限多个(n-1)维流形按照一维流形方式放在一起而形成的，从此开始流形的拓扑结构及其局部理论的研究。
法国数学家庞加莱在19世纪末把n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维欧氏空间同胚的邻域(被称为庞加莱流形)，从而开辟了组合拓扑学的道路。
对流形的深入研究集中在流形上的微分结构与组合结构的存在性、唯一性问题，微分结构与组合结构的关系，流形的各种意义下的分类等问题，20世纪50—60年代做出许多重要结果，近几十年来出现有限维带边流形和无限维流形概念。
流形理论在与其他拓扑理论的相互结合发展中也提出许多问题，其研究仍在继续。
流形上的黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）联络，并且它保持黎曼度量。这个联络称为这个黎曼度量的Levi-civita联络。
有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。欧氏空间的联络就是通常意义上的向量函数的微分。
黎曼度量还诱导出曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度。曲率处处为零的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。
德国数学家高斯最早研究了曲面上的曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。