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第五百九十一章 哥德尔定理(逻辑学)

德国数学家大卫·希尔伯特(david hilbert, 1862-1943)扩展了弗雷格和罗素的工作,提出了着名的希尔伯特方案,即数学的任何分支都可以被重新表述为一种形式理论,他提出以下3个问题是否存在正解:

一个形式理论,其中的公理不能产生矛盾,它的一致性能否在理论本身内得到证明?

形式理论能被证明是完备的吗,因为它包含了任何真正的数学陈述在它想要体现的特定分支中。

是否存在一个纯粹的机械过程,我称之为通用证明机制,来判定任何给定的数学命题的真假。这个问题在德语中被称为判定问题(Entscheidungsproblem)。

哥德尔对于所谓的所有东西都可以被计算这样的问题词嗤之以鼻。

对于策梅洛的ZF公理,总会有问题存在,不可能对于数学计算是完备的。

“谁也不能证明他们的功力系统,即是完备的,又是可靠的。”

哥德尔认为这可以打败任何一个自称可以自圆其说的理论系统。

“对于任意可靠的公理和推理规则系统S,必存在正确的数论结论不能在S中被证明。”哥德尔证明这个震惊世界的理论。

对于聪明的科学家和数学家,就明白自己只能无限接近真理而无法到达真理。

只有倔强的爱钻牛角尖的人才觉得自己可以统一宇宙。

首先这个定理虽然保护“不完备”三个字,但是你千万别理解说哥德尔这个人,创造出来的定理是不完备的,恰恰相反,定理本身肯定必须完备,只不过定理的内容是说“某某东西不完完备而已”。所以了解这点之后我们就要进一步讲解这个定理。

所以哥德尔不完备定理,精髓就是自然数系统内“自洽性”和“完备性”不可兼得,只能放弃一个,保全另一个,有点鱼和熊掌不可兼得的意思。

但是事情到了这里还没完,因为我们目前数学上面还有很多猜想未被证明,比如黎曼猜想,哥德巴赫猜想等等,人类奋斗了这么多年,还是没有证明出来。在哥德尔不完备定理出现之前,人类遇到某猜想不能证明,第一反应就是:虽然现在不能证明,不代表以后不能证明,未来某时刻,肯定有某位数学家能够证明。但是当哥德尔不完备定理出现后,这个想法似乎被打破了,这似乎再暗示我们,有一些数学猜想,可能就是因为人们过渡去追求“自洽性”,把“自洽性保全了”,但是“完备性”却破坏了,所以出现了类似于“黎曼猜想”。这似乎再暗示:有一些数学猜想就是既不能被证明,又不能被证伪的,现在是这样,以后也是这样,不会有某位数学家能够改变这一点。